Question

15．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，O是BC的中点，点D和点E分别在AB、AC上，∠DOE=45°．
（1）求证：△BOD∽△OED∽△CEO；
（2）求证：AE+DE=BD，AD+DE=CE．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°．根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BOD=∠EOC，推出△BOD∽△COE，根据相似三角形的性质得到$\frac{OD}{OE}=\frac{BD}{OC}$，等量代换得到$\frac{OD}{OE}=\frac{BD}{OB}$，于是得到结论；
（2）连接AO，在AB上截取BF=AE，连接OF，则AF=CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAO=∠C，根据全等三角形的性质得到OF=OE，∠AFO=∠CEO，根据相似三角形的性质得到∠DEO=∠DFO，推出△DOF≌△DOE，根据全等三角形的性质得到DF=DE，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BOD+∠BDO=180°，
∴∠BDO+∠BOD=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BOD+∠DOE+∠EOC=180°，
∴∠BOD+∠EOC=135°，
∴∠BOD=∠EOC，
又∵∠B=∠C，
∴△BOD∽△COE，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{BD}{OC}$，
∵O是BC的中点，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{BD}{OB}$，
∵∠B=∠DOE=45°，
∴△BOD∽△DOE，
∴△BOD∽△OED∽△CEO；

（2）连接AO，在AB上截取BF=AE，连接OF，
则AF=CE，
∵O是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}∠$BAC=45°，AO=OC，
∴∠BAO=∠C，
在△AOF与△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{∠FAO=∠C}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，∠AFO=∠CEO，
∵△BOD∽△DOE∽△COF，
∴∠EDO=∠FDO，∠CEO=∠DEO，
∴∠DEO=∠DFO，
在△DOF与△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFO=∠DEO}\\{∠FDO=∠EDO}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△DOF≌△DOE，
∴DF=DE，
∵BD=BF+DF，
∴BD=AE+DE，
同理AD+DE=CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．