Question

8．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA=OC，AC平分∠BAD．欲使四边形ABCD是正方形，则还需添加添加AC=BD或∠BAD=90°（写出一个合适的条件即可）

Answer 1

分析 先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明四边形ABCD为菱形，根据正方形的判定，即可解答．

解答 解：∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠BCO}\\{OA=OC}\\{∠AOD=∠COB}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COB，
∴OB=OD，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠BAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴当AC=BD或∠BAD=90°，四边形ABCD为正方形，
故答案为：AC=BD或∠BAD=90°．

点评 本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．