Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；

①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC 求OC的长度．

Answer 1

（1）证明见解析（2）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC；②OC=2．

【解析】（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，

则在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF

∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC

（2）CF﹣CD=BC；

（3）（3）①CD﹣CF=BC

②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，

∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD，

∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，

∴∠FCD=90°∴△FCD是直角三角形。∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、 DF

相交于点O   ∴DF=AD=4，O为DF中点∴OC=DF=2．