题目内容

1．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：ED是⊙P的切线；
（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）根据题意求得B的坐标，解直角三角形求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求得AB=4，根据AE=3EB求得AE=3，易证得△AED∽△COD，得出∠ADE=∠CDO，由∠ADE+∠ODE=90°得出∠CDO+∠ODE=90，即可证得结论；
（3）把抛物线解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，然后结合B、D的坐标即可求得．

解答 （1）解：∵C（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$，
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
把D（0，2$\sqrt{3}$）代入得a•4•（-2）=2$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
（2）证明：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵sin∠BCD=$\frac{OC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{OC}{CD}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE=∠DCB=60°，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线；

（3）解：存在．
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）2+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
∴M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），
而B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），如图2，
当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点B，
则点M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点N1（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，
再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点M，则点D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3个单位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N2（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，
再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点B，则点D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3个单位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N3（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
综上所述，点N的坐标为（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）、（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）、（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线．

练习册系列答案
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A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

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