Question

11．如图，等边△ABC的边长是6，点E，F分别在AC，BC边上，AE=CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求∠APB的度数；
（2）若AE=2，求BP•BE的值．

Answer 1

分析 （1）证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；
（2）用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理即可以得到答案．

解答 （1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°-∠APE=120°．

（2）∵∠BAC=∠APE=60°，∠PAE=∠EBA，
∴△APE∽△ABE
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{BP}{AB}$，
∴BP•BE=12

点评 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．