Question

在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）

A．    B．    C．    D．

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

试题分析：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），

∴OA=1，OD=2，

设正方形的面积分别为S₁，S₂…S₂₀₁₂，

根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，

∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x，

∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，

∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，

在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，

∴AB=AD=BC=，

∴S₁=5，

∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，

∴∠ADO=∠BAA₁，

∴tan∠BAA₁===，

∴A₁B=，

∴A₁C=BC+A₁B=，

∴S₂=×5=5×（）²，

∴==，

∴A₂B₁=×=，

∴A₂C₁=B₁C₁+A₂B₁=+==×（）²，

∴S₃=×5=5×（）⁴，

由此可得：S_n=5×（）^2n﹣2，

∴S₂₀₁₂=5×（）^2×2012﹣2=5×（）⁴⁰²²．

故选D．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是得到规律S_n=5×（）^2n﹣2．