Question

如图，边长为5的菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且AE=4．以AE为边向右作正方形AEFG．边GF与CD交于点H．
（1）直接写出BE的值为

 

．
（2）求CF的长．
（3）求FH的长．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由边长为5的菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且AE=4，直接利用勾股定理求解即可求得答案．
（2）由以AE为边向右作正方形AEFG，可得EF=AE=4，即可得BF=BE+EF=7，继而求得CF的长．
（3）易得△ABE∽△HCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得FH的长．

解答：解：（1）∵AB=5，AE=4，AE⊥BC，
∴BE=

AB2-AE2

=3；
故答案为：3．

（2）∵正方形AEFG中，EF=AE=4．
∴BF=BE+EF=7．
∴CF=BF-BC=2；

（3）∵AE⊥BC，正方形AEFG中，∠F=90°，
∴∠AEB=∠F，
又∵菱形ABCD中，AE∥BC，
∴∠B=∠HCF，
∴△ABE∽△HCF，
∴

HF

AE

=

CF

BE

，
∴

HF

4

=

2

3

，
∴FH=

8

3

．

点评：此题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．