题目内容
4．如图1，已知抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；
（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．
分析 （1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；
（2）找点C关于DE的对称点N（4，$\sqrt{3}$），找点C关于AE的对称点G（-2，-$\sqrt{3}$），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；直线AE的解析式：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），则Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，根据解析式即可求得，△MPF面积的最大值；
（3）由（2）可知C（0，$\sqrt{3}$），F（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），求得CF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，CP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，进而得出△CFP为等边三角形，边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，翻折之后形成边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．
解答 
解：（1）对于抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
令x=0，得y=$\sqrt{3}$，即C（0，$\sqrt{3}$），D（2，$\sqrt{3}$），
∴DH=$\sqrt{3}$，
令y=0，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=0，得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，
∴△ACO∽△EAH，
∴$\frac{OC}{AH}$=$\frac{OA}{EH}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{EH}$，
解得：EH=$\sqrt{3}$，
则DE=2$\sqrt{3}$；
（2）找点C关于DE的对称点N（4，$\sqrt{3}$），找点C关于AE的对称点G（-2，-$\sqrt{3}$），
连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，
直线GN的解析式：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；直线AE的解析式：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
联立得：F （0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
过点M作y轴的平行线交FH于点Q，
设点M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），则Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（0＜m＜2）；
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=$\frac{1}{2}$MQ×2=MQ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∵对称轴为：直线m=$\frac{1}{2}$＜2，开口向下，
∴m=$\frac{1}{2}$时，△MPF面积有最大值：$\frac{17}{12}$$\sqrt{3}$；
（3）由（2）可知C（0，$\sqrt{3}$），F（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴CF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，CP=$\sqrt{C{D}^{2}+D{P}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵OC=$\sqrt{3}$，OA=1，
∴∠OCA=30°，
∵FC=FG，
∴∠OCA=∠FGA=30°，
∴∠CFP=60°，
∴△CFP为等边三角形，边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
翻折之后形成边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，
1）当K F′=KF″时，如图3，
点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），
∴OK=3；
2）当F′F″=F′K时，如图4，
∴F′F″=F′K=4，
∵FP的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，
∵∠OAF=30°，
∴F′K=F′A
∴AK=4$\sqrt{3}$
∴OK=4$\sqrt{3}$-1或者4$\sqrt{3}$+1；
3）当F″F′=F″K时，如图5，
∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，
∵∠OAF=30°，
∴∠AF′F″=90°，
∵F″F′=F″K=4，
∴AF″=8，
∴AK=12，
∴OK=11，
综上所述：OK=3，4$\sqrt{3}$-1，4$\sqrt{3}$+1或者11．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键．
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