题目内容
15．如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；
（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长；
分析 【试题再现】根据已知条件证得∠BCE=∠CAD，由∠ADC=∠CEB=90°，于是得到△ADC∽△CEB．
【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．由∠DEC=40°，得到∠DEA+∠CEB=140°；根据∠A=40°，得到∠ADE+∠AED=140°，于是得到∠ADE=∠CEB，推出△ADE∽△BEC，同时得到结论；
【深入探究】（1）根据AD∥BC，得到∠ADC+∠BCD=180°，由于DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，于是得到∠CDP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）=90°，由于∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，有一定的△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
（2）过点P作PE⊥DC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，得到DF=AB，推出△ADP≌△EDP，得到AD=DE，同理△CBP≌△CEP，得到BC=EC，于是得到DC=AD+BC=8．在Rt△CDF中，CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2，由勾股定理，得DF=$\sqrt{{8^2}-{2^2}}=2\sqrt{15}$，即可得到结论．
解答 解答：【试题再现】
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC∽△CEB．
【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由如下：
∵∠DEC=40°，
∴∠DEA+∠CEB=140°；
∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴E点是四边形ABCD的边AB上的相似点．
【深入探究】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠CDP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）=90°，
∵DA⊥AB，
∴CB⊥AB，
∴∠DPC=∠A=∠B=90°，
∵∠ADP=∠CDP，
∴△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，
∴△ADP∽△PDC∽△BPC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
（2）过点P作PE⊥DC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB，
在△ADP与△EDP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDP}\\{∠DAF=∠DEP=90°}\\{DP=DP}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△EDP，
∴AD=DE，
同理△CBP≌△CEP，
∴BC=EC，
∴DC=AD+BC=8．
在Rt△CDF中，CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2，
由勾股定理，得DF=$\sqrt{{8^2}-{2^2}}=2\sqrt{15}$，
∴AB=2$\sqrt{15}$．
点评 本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．
一线名师提优试卷系列答案| A． | 等边三角形 | B． | 平行四边形 | C． | 菱形 | D． | 五角星 |
如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD、BE是△ABC的高，交于点H，BE的延长线交⊙O于F，下列结论：
