Question

4．设直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为S_k，则S₁+S₂+S₃…+S₂₀₁₀的值是$\frac{1005}{2011}$．

Answer 1

分析 先求出y=kx+k-1与x轴的交点和y=（k+1）x+k与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S_k，求出S₁=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$），S₂=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），以此类推S₂₀₁₀=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$），相加后得到 $\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2011}$），求出即可．

解答 解：k≠1时l₁与l₂的图象示意图．
∵y=kx+k-1与x轴的交点为A（$\frac{1-k}{k}$，0），
y=（k+1）x+k与x轴的交点为B（-$\frac{k}{k+1}$，0），
∴S_K=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×|y_C|=$\frac{1}{2}$×|$\frac{1-k}{k}$+$\frac{k}{k+1}$|×1=$\frac{1}{2k（k+1）}$．
k=1时结论同样成立．
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₀
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…$\frac{1}{2010×2011}$]
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$）]
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2011}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2010}{2011}$=$\frac{1005}{2011}$．
故答案是：$\frac{1005}{2011}$．

点评 此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．