如图.在△ABC中.已知AB=AC.∠BAC=90°.BC=6cm.直线CM⊥BC.动点D从点C开始以每秒2cm的速度运动到B点.动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒1cm的速度运动．(1)问动点D运动多少秒时.△ABD≌△ACE.并说明理由,(2)设动点D运动时间为x秒.请用含x的代数式来表示△ABD的面积S,(3)动点D运动多少秒时.△ABD与△ACE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始以每秒2cm的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒1cm的速度运动．
（1）问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE，并说明理由；
（2）设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S；
（3）动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1．

分析（1）设动点D运动t秒时，△ABD≌△ACE，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B，再加上AB=AC，所以只要满足BD=CE，△ABD≌△ACE，列式可求得t的值；
（2）作高线AF，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得：AF=3，代入面积公式可求出代数式；
（3）作高线AG，先证明四边形AFCG是矩形，求出AG=3，由△ABD与△ACE的面积比为3：1列式可得出结论．

解答解：（1）如图1，设动点D运动t秒时，△ABD≌△ACE，
由题意得：CD=2t，CE=t，则BD=6-2t，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CM⊥BC，
∴∠BCM=90°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠ACE=∠B，
∴当BD=CE时，△ABD≌△ACE，
即6-2t=t，
t=2，
答：动点D运动2秒时，△ABD≌△ACE；
（2）如图2，过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF是斜边的中线，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
由题意得：CD=2x，则BD=6-2x，
∴S=S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AF=$\frac{1}{2}$（6-2x）×3=-3x+9；
（3）设动点D运动x秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1，
如图2，再过A作AG⊥CM于G，
∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，
∴四边形AFCG是矩形，
∴AG=CF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵△ABD与△ACE的面积比为3：1，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{\frac{1}{2}BD•AF}{\frac{1}{2}CE•AG}$=$\frac{3}{1}$，
∴$\frac{BD}{CE}$=3，
∴BD=3CE，
即6-2x=3x，
5x=6，
x=$\frac{6}{5}$，
∴动点D运动$\frac{6}{5}$秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1．