Question

4．为了调动同学们的学习积极性，某班班主任陈老师在班级管理中采用了奖励机制，每次期中期末考试后都会进行表彰奖励．期中考试后，陈老师花了300元购买甲、乙两种奖品用于奖励进步显著学生及成绩特别优秀学生．期末考试后，陈老师再次去购买奖品时，发现甲奖品每件上涨了6元，乙奖品每件上涨了12元，结果购买相同数量的甲、乙两种奖品却多花了120元．设陈老师每次购买甲奖品x件，乙奖品y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式：y=10-$\frac{1}{2}x$．
（2）若x=8，且这两种奖品不再调价．若陈老师再次去购买奖品，且所买甲奖品比前两次都少1件，则他最多买几件乙奖品，才能把奖品总费用控制在300元以内？
【备注：已知陈老师第一次购买奖品发现，甲奖品比乙奖品便宜，两种奖品单价（元）都在30以内且为偶数】

Answer 1

分析 （1）利用陈老师花了300元购买甲、乙两种奖品用于奖励进步显著学生及成绩特别优秀学生，期末考试后，陈老师再次去购买奖品时，发现甲奖品每件上涨了6元，乙奖品每件上涨了12元，结果购买相同数量的甲、乙两种奖品却多花了120元，可得y与x之间的函数关系式；
（2）设甲奖品原单价为a元，乙奖品原单价为b元，则8a+6b=300，利用a＜b≤30，可得a，b，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得：6x+12y=120，
解得：y=10-$\frac{1}{2}$x；
故答案为：y=10-$\frac{1}{2}x$．
（2）当x=8时，y=6．
设甲奖品原单价为a元，甲奖品原单价为b元，则8a+6b=300．
∴b=50-$\frac{4}{3}$a，
∵a＜b≤30．
∴$\left\{\begin{array}{l}50-\frac{4}{3}a≤30\\ a＜50-\frac{4}{3}a.\end{array}$，
解得15≤a＜$\frac{150}{7}$．
经检验，a=18符合题意，
此时b=26．
设最多可购买z件乙奖品，
∴24×7+38z≤300，
∴z≤$\frac{66}{19}$，
∴z=3．
答：最多买3件乙奖品，才能把奖品总费用控制在300元以内．

点评 本题考查了一次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．