Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．若AD、BD是关于x的方程x²-10x+m=0的两个根，且S_△ABC=20，求m的值？

Answer 1

分析 利用一元二次方程的根与系数的关系及相似三角形的性质求得CD的长，再根据直角三角形高与斜边的关系求得m的长．

解答 解：∵AD、DB的长是方程x²-10x+m=0的根，
∴AD+DB=AB=10，AD•DB=m；
∵△ABC的面积为20，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$CD×10=20；
∴CD=4；
∵在直角△ABC中，Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴CD：BD=AD：CD；
∴CD²=AD•DB=m=16，
∴m=16．

点评 本题考查了射影定理，一元二次方程的根与系数的关系，直角三角形的性质，相似三角形的性质，直角三角形的面积公式求解．