Question

9．如图，已知半圆的圆心为O，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，连接AC，将△ACD沿AC翻折得到△ACD，AD与$\widehat{AC}$交于点E．
（1）连接OC，求证：OC∥AD；
（2）当直径AB=10cm，AE=6cm，求弦AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到∠DAC=∠D′AC，∠D′=∠ADC，由CD⊥AB，得到∠ADC=90°，∠D′=90°，于是得到∠DAC+∠ACD=∠ACD′+∠D′AC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，推出∠D′CA+∠ACO=90°，证得∠D′+∠ACD′=180°，即可得到结论；
（2）连接CE，BC，由∠EAC=∠BAC，得到$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，证得CE=BC，推出Rt△CD′E≌Rt△BDC，得到D′E=BD，求出BD=D′E=2，根据射影定理得即可得到结论．

解答 解：（1）∵将△ACD沿AC翻折得到△ACD′，
∴∠DAC=∠D′AC，
∴∠D′=∠ADC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠D′=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD′+∠D′AC=90°，
∴∠ACD′+∠CAD=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠D′CA+∠ACO=90°，
∴∠D′+∠ACD′=180°，
∴OC∥AD′；

（2）连接CE，BC，
∵∠EAC=∠BAC，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴CE=BC，
在Rt△CD′E与Rt△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{CD′=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CD′E≌Rt△BDC，
∴D′E=BD，
∴AE+D′E=AB=BD，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BD=D′E=2，
∴AD=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
由射影定理得：AC²=AD•AB=80，
∴AC=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，射影定理，圆周角定理，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．