Question

已知，如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E是边AD上一点．
（1）若∠CAD=∠EBC，AC=BE，AB=6，求CE的长．
（2）若AE+AB=BC，求证：∠BEC=∠ABE+

1

2

∠BAD．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，∠CAD=∠EBC，AC=BE，易证得△ACD≌△BEC，继而求得CE的长．
（2）首先过点E作EF∥AB，交BC于点F，易得∠BEC=∠ABE+∠DCE，又由BC=AB+AE，易得△DCE是等腰三角形，继而可得∠DCE=

1

2

∠BCD=

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2

∠BAD，则可证得结论．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AD=BC，
在△ACD和△BEC中，

AD=BC ∠DAC=∠EBC EB=AC

，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴CE=CD=6；

（2）证明：过点E作EF∥AB，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AD∥BC，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠BEF=∠ABE，∠CEF=∠DCE，
∵AD=AE+ED，BC=AE+AB，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DCE=

1

2

∠BCD=

1

2

∠BAD，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠ABE+

1

2

∠BAD．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．