Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C的对角线A₁C和OB₁交于点M₁，以M₁A₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M₁，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂；以M₂A₁为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃；…，依此类推，那么M₁的坐标为______；这样作的第n个正方形的对角线交点M_n的坐标为______．

Answer 1

因为正方形的边长为1，
则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B₁（1，1），A₁（1，0），
在正方形OA₁B₁C中，
∴OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，
设OM₁=M₁A₁=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
解得：x=

2

2

，
同理可求出OA₂=A₂M₁=

1

2

，A₂M₂=

2

4

，A₂A₃=

1

4

，…，
根据正方形对角线性质可得：M₁的坐标为（1-

1

2

，

1

2

），
故答案为：（

1

2

，

1

2

）；
同理得M₂的坐标为（1-

1

22

，

1

22

），
M₃的坐标为（ 1-

1

23

，

1

23

），
…，
依此类推：M_n坐标为（ 1-

1

2n

，

1

2n

）=(

2n-1

2n

，

1

2n

)，
故答案为：(1-

1

2n

，

1

2n

)或另一书写形式(

2n-1

2n

，

1

2n

)．