Question

如图，将边长为a_n（n=1，2，3，…）的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A₁，A₂，A₃，…，且后一个正方形的顶点在前一个正方形的中心，若第n个正方形纸片被第n+1个正方形纸片盖住部分的边长（即虚线的长度）记为b_n，已知a₁=1，a_n-a_n-1=2，则b₁+b₂+b₃+…+b_n=______．

Answer 1

过A₁作A₁A⊥EF于A，A₁D⊥FG于D，
∵正方形EFGH，
∴∠A₁AB=∠A₁DC=∠EFG=90°，A₁A=A₁D，
∴∠AA₁D=∠BA₁C=90°，
∴∠AA₁B=∠DAC，
∴△BAA₁≌△CDA₁，
∴AB=DC，
∵a₁=1，a_n-a_n-1=2，
∴BF+FC=FA+FD=1，
同理第2个虚线之和是1+2=3，
同理第3个虚线之和是3+2=5，
同理第4个虚线之和是5+2=7
同理第5个虚线之和是7+2=9，
若摆放前n个（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为：
1+3+5+…+（2n-1）=

1

2

×（1+2n-1）n=n²
故答案为：n²．