Question

【题目】已知正方形ABCD的对角线相交于O，点P在射线AO上，∠MPN=90°．

（1）如图1，当P与点O重合，M、N分别在AD、AB上，AM=2DM，则=__________；

（2）如图2，点P在CO上，AP=2CP，M为AD的中点，求的值．

（3）如图3，P在AC的延长线上，M为AD的中点，AP=nCP，则=____________(用含n的式子表示)

Answer 1

【答案】（1）；（2）=5；（3）

【解析】

（1）根据正方形的性质定理和三角形全等的判定定理，可得MODNOA，MOANOB，结合AM=2DM，即可得到结论；

（2）过点P作PF∥AD，PE∥AB，易得AE=2ED，设ED=a，则AE=2a，A =3a，MD=，ME =a，再证MEPNFP，可得AN=，BN=a，进而即可得到结论；

（3）过点P作PK⊥AD交AD的延长线于点K，过点P作PH⊥AN于点H，易得，设DK=a，则AK=na，AD=(n-1)a，MK=，由（2）题的方法得：MKPNHP，从而得AN=，BN=，进而即可得到结论．

（1）∵正方形ABCD的对角线相交于O，

∴OA=OD，∠ODM=∠OAN=45°，∠AOD=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠MOD+∠AOM=∠NOA+∠AOM=90°，

∴∠MOD=∠NOA，

∴MODNOA（ASA），

∴DM=NA，

同理：MOANOB（ASA），

∴AM=BN，

∵AM=2DM，

∴BN=2 NA

∴=，

故答案是：；

（2）过点P作PF∥AD，PE∥AB，

∴，

∵AP=2CP，

∴AE=2ED，

设ED=a，则AE=2a，AD=2a+a=3a，

∵M为AD的中点，

∴MD=AD=×3a=，ME=- a=a，

∵FG∥AD，PE∥AB，

∴PF⊥AB，PE⊥AD，

∵AC是∠BAD的平分线，

∴PF=PE，

∵∠BAD=90°，

∴四边形AEPF是正方形，即：∠EPF=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠MEP=∠NFP=90°，

∴MEPNFP（ASA），

∴ME=NF=a，

又∵AF=AE=2a，

∴AN=2a+a=，

∵AB=AD=3a，

∴BN=3a-=a，

∴=5；

（3）过点P作PK⊥AD交AD的延长线于点K，过点P作PH⊥AN于点H，

∵PK∥CD，AP=nCP，

∴，

设DK=a，则AK=na，AD=(n-1)a，

∵M为AD的中点，

∴MD=，

∴MK=MD+DK=，

由（2）题的方法得：MKPNHP（AAS），四边形AKPH是正方形，

∴HN=MK=，AH=AK=na，

∴AN=+na=，BN=-(n-1)a=，

∴=．

故答案是：．