Question

【题目】如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C,点D在x轴上，AC=CD，过点D作DE⊥x轴交抛物线于点E，点P，Q分别是线段CO，CD上的动点，且CP=QD．记△APC的面积为S1，△PCQ的面积为S2，△QED的面积为S3，

（1）若S1+S3=4S2 ，求Q点坐标；

（2）连结AQ，求AP+AQ的最小值；

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求出A,C的坐标，作QN∥OD，根据等腰三角形的性质得出D（3，0），进而求得E（3，5），根据勾股定理求得CD＝5，设PC＝QD＝x，由△NQC∽△ODC的性质得出NQ＝，根据S1+S3=4S2，列出关于x的方程，即可求得x的值，进而求得NQ和ON，就求得Q点的坐标；

（2）连接AE，先证明△ACP≌△EQD，则AP＝EQ，所以AP＋AQ＝EQ＋AQ，利用三角形三边的关系得到EQ＋AQ≥AE（当且仅当点A、Q、E共线时取等号），然后计算出AE即可．

（1）令=0

解得x1=-3,x2=8

∴A（-3，0），B（8，0）

令x=0，得y=4

∴C（0，4），

∵AC＝CD，CO⊥AD，

∴OD＝OA＝3，

∴D（3，0），

∴E点的横坐标为3，

把x＝3代入得，y＝5，

∴E（3，5），

∵OD＝3，OC＝4，

∴CD＝5，

设PC＝QD＝x，

作QN∥OD，交OC于N，

∴△NQC∽△ODC，

∴，即，

∴NQ＝，

∵S1＋S3＝4S2，

∴x3＋×5[3]＝4x

解得x＝，

∴QD＝，

p>∴CQ＝5＝，

∵，

∴，

∴NQ＝，CN＝2，

∴ON＝42＝2，

∴Q（，2）；

（2）连接AE，

∵AC＝CD，CO⊥AD，

∴OC平分∠ACD，

∴∠ACO＝∠DCO，

∵ED∥OC，

∴∠DCO＝∠CDE，

∵DE＝CD＝AC＝5，CP＝QD，

∴△ACP≌△EDQ，

∴AP＝EQ，

∴AP＋AQ＝EQ＋AQ，

而EQ＋AQ≥AE（当且仅当点A、Q、E共线时取等号），

∴EQ＋AQ的最小值＝＝＝，

∴AQ＋AP的最小值为．