Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上。

（1）求这个长方形零件PQMN面积S的最大值；
（2）在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN，△BPQ，△NMC剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形PQMN大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由.

Answer 1

解：（1）设长方形零件PQMN的边
则
∵
∴
∴
因此
解得
所以长方形PQMN的面积
当时，
（mm²）
所以这个长方形零件PQMN面积的最大值是2400mm²。
（2）∵
从理论上说，恰能拼成一个与长方形PQMN大小一样的长方形
拼法：作的中位线，分别过P，N作BC的垂线，垂足分别为Q，M，过A作BC的平行线，交QP的MN延长线于G，H，易知，，
所以将剪下拼接到的位置，即得四边形，
此四边形即为长方形零件面积最大时大小一样的长方形。