Question

17．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为8cm²或2$\sqrt{15}$cm²或2$\sqrt{7}$cm²．

Answer 1

分析 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：
（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；
（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．

解答 解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=4时，如图：

∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×4×4=8（cm²）；
（2）当AE=EF=4时，如图：

则BE=5-4=1，
BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•BF=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{15}$=2$\sqrt{15}$（cm²）；
（3）当AE=EF=4时，如图：

则DE=7-4=3，
DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{7}$=2$\sqrt{7}$（cm²）；
故答案为：8或2$\sqrt{15}$或2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．