Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为边作正方形ADEF，过点F作FG⊥CA交CA的延长线于点G，连接FB交DE于点H，下列结论：
①∠BAF=∠GAF；
②四边形CBFG是矩形；
③AB=FH；
④AF²=FH•BC
其中正确的结论有①②④（把所有正确结论的序号都写在横线上）

Answer 1

分析 由△AFG≌△DAC，推出四边形BCGF是矩形，推出△BAF是等腰三角形，推出△AFG∽△HFE，由此即可一一判断．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴FG⊥CG，
∴∠G=∠C=90°，
∴∠CAD+∠GAF=90°，∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
∴△AFG≌△DAC，
∴FG=AC=BC，∠ADC=∠FAG，
∴∠G+∠C=180°，
∴FG∥BC，
∴四边形BCGF是平行四边形，
∵∠G=90°，
∴四边形BCGF是矩形，故②正确，
∴CG∥BF，
∴∠GAF=∠AFB，
∵∠DAH+∠BAF=90°，∠DAB=∠DAC，
∴∠BAF=∠GAF，
∴∠BAF=∠AFB，故①正确，
∴BA=BF，易知FH＜BF，故③错误，
∵∠GFB=∠AFE=90°，
∴∠GFA=∠BFE，∵∠G=∠E=90°，
∴△GFA≌△EFH，
∴$\frac{FA}{FH}$=$\frac{GF}{EF}$，
∵EF=AF，GF=AC，
∴AF²=FH•AC．
故答案为①②④．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．