Question

20．如图，已知经过点D（2，-$\sqrt{3}$）的抛物线y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式以及点A与点B的坐标．
（2）如图1，连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；若动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；
（3）t是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作t的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出点A，B坐标；
（2）先求出tan∠BAD=$\frac{DF}{AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而得出∠BAD，即可得出∠DAE=60°，最后判断出ME+MN的最小值是DN即可．
（3）先判断出∠ADB=90°，再设出点P坐标，表示出AG，PG，分两种情况用比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）经过点D（2，-$\sqrt{3}$）的抛物线y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3），
∴-$\sqrt{3}$=$\frac{m}{3}$（2+1）（2-3），
∴m=$\sqrt{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），
∵抛物线与x轴相交于A，B，
∴0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
（2）∵过点D作x轴的垂线交射线AE于点E，D（2，-$\sqrt{3}$），E（2，$\sqrt{3}$），
∴DF=$\sqrt{3}$，AF=3，DE=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAD=$\frac{DF}{AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAE=∠BAD=30°，
∴∠DAE=60°，
∴AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DN=AF=3
∴如图2，

过点D作DN⊥AE，交x轴于点M，
∵点D，E关于x轴对称，
∴DN就是MN+EM的最小值为3，
（3）如图，连接BD，连接AP，

由（1）得，A（-1，0），B（3，0），D（2，-$\sqrt{3}$），
∴AD²=（2+1）²+（-$\sqrt{3}$）²=12，BD²=（3-2）²+（-$\sqrt{3}$）²=4，AB²=16，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵∠AGP=90°，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴设P（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$），
∴G（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$），
∴PG=|a+1|，PG=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$|，
∵以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，
∴①△PAG∽△ABD，
∴$\frac{PG}{AD}=\frac{AG}{BD}$，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{|a+1|}{2}$，
∴a=9或a=-1，或a=0或a=-2
∴P（9，20$\sqrt{3}$）或（-1，0）或（0，-$\sqrt{3}$）或（-2，$\sqrt{3}$）；
②△APG∽△ABD，
∴$\frac{PG}{BD}=\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3}|}{2}=\frac{|a+1|}{2\sqrt{3}}$，
∴a=-1（舍）或a=4或a=2（舍），
∴P（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
即：满足条件的P点坐标为P（9，20$\sqrt{3}$）或（-1，0）或（0，-$\sqrt{3}$）或（-2，$\sqrt{3}$）或（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等边三角形的判定，平面坐标系内，两点间的距离公式，相似三角形的性质，解本题的关键是判断△ADE是等边三角形，和分类讨论计算．