Question

【题目】如图1，在中，，以为弦的与相切于点．

（1）求证：是的切线；

（2）将中以下部分沿直线向上翻折．

①如图2，若翻折后的弧过中点，并交于点，请判断与的关系，并说明理由．

②如图3，若，且翻折后的弧恰好过点，则的半径为________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，见解析，②2

【解析】

（1）连接OB，OC，根据等腰三角形的性质，得∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，结合∠ABO=90°，即可得到结论；

（2）①连接DE，BE，由圆周角定理得，从而得，进而得DE∥BC，由点D是AB的中点，可得DE是ABC的中位线，进而即可得到结论；②连接AO，BO，CO，设AO交于点O′，易得是所在圆的直径，记交弧于点，两圆半径相等，那么点就是所在的圆的圆心，可得O′BO是等边三角形，再利用解直角三角形，即可得到答案．

（1）连接OB，OC，

∵AB=AC，OB=OC，

∴∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，

∴∠ABO=∠ACO，

∵AB是的切线，

∴∠ABO=90°，

∴∠ACO=90°，

∴AC是的切线；

（2）①，理由如下：

连接DE，BE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴，

∴，即：，

∴∠BED=∠CBE，

∴DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED，

∴AD=AE，

∵点D是AB的中点，

∴AD=AB，

∴AE=AC，

∴点E是AC的中点，

∴DE是ABC的中位线，

∴DE=BC．

综上所述：DE∥BC，DE=BC；

②连接AO，BO，CO，设AO交于点O′，

∵翻折后的弧恰好过点，∠ABO=90°，

∴AO是所在圆的直径，

∵所在圆与所在圆是等圆，

∴OO′既是所在圆的半径，也是所在圆的半径，

∴点O′是所在圆的圆心，

∴O′B=O′O=OB，

∴O′BO是等边三角形，即∠AOB=60°，

∴在RtAOB中，AO=AB÷sin60°==4，

∴OO′=2，

即：的半径为2．