Question

【题目】如图，正方形中．对角线AC、BD交于点．点，点分别在线段，线段上，且，连接交于，连接交于，

（1）如图1，若点为线段中点，求的长；

（2）如图2，若平分，求证：；

（3）如图3，点在线段(含端点)上运动．连接，当线段长度取得最大值时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）BF=-1；（2）证明见解析；（3）cos∠HDO=．

【解析】

（1）根据正方形的性质可得OA=OB，AB=OB，由点E为OB的中点可得OE=OB，利用勾股定理列方程可求出OE的长，进而可求出AB的长，根据AF=OE，即可求出BF的长；

（2）如图，延长DG，交AB于M，根据角平分线的定义及外角的性质可得AD=DE，根据等腰三角形的性质及角的和差关系可证明DG垂直平分AE，根据直角三角形两锐角互余的性质可证明∠AMG=∠AHG，可得AM=AH，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得MG=GH，根据∠BFO=∠AMG可得FG=MG，即可得出FG=GH；

（3）如图，连接BH，可知BH≥HE，可得当点E与点B重合时，HE取得最大值，当点E与点B重合时，OB=AF，过点F作FN⊥BD于N，设OB=x，则AB=x，BF=，由∠ABD=45°可得△BFN是等腰直角三角形，可得BN=BF，根据DN=BD-BN可表示出DN的长，利用勾股定理可得DF=，根据余弦的定义即可得答案．

（1）四边形ABCD时正方形，

∴OA=OB，AB=OB，

∵点为线段中点，

∴OE=OB=OA，

∵AE=，

∴OE2+（2OE）2=AE2，即5OE2=5，

解得：OE=1，（负值舍去）

∴OB=2，AB=，

∵AF=OE，

∴BF=AB-AF=-1．

（2）如图，延长DG，交AB于M，

∵AE平分∠BAC，∠BAC=45°，

∴∠BAE=∠EAO=22.5°，

∵∠AED=∠ABE+∠BAE=45°+22.5°=67.5°，∠DAE=∠DAO+∠EAO=45°+22.5=67.5°，

∴∠AED=∠DAE，

∴AD=DE=AB，

∵OE=AF，

∴AB-AF=DE-OE，即OD=BF，

∵OD=OB，

∴OB=BF，

∴∠BOF=∠BFO=（180°-45°）=67.5°，

∴∠AOG=90°-∠BOF=22.5°，∠BOF=∠AED，

∴EG=OG，∠EAO=∠AOG，

∴AG=EG=OG，

∴DG垂直平分AE，

∴∠AMG=90°-∠BAE=67.5°，∠AHG=90°-EAO=67.5°，

∴∠AMG=∠AHG=∠BFO，

∴FG=MG，AM=AH，

∵∠BAE=∠EAO，

∴MG=GH，

∴FG=GH．

（3）如图，连接BH，

∵点E在OB上运动，∠BOH=90°，

∴BH≥HE，

∴当点E与点B重合时，HE取最大值，

如图，当点E与点B重合时，过点F作FN⊥BD于N，设OB=x，则AB=，

∵OE=AF，

∴BF=（-1）x，

∵∠ABO=45°，

∴△FBN是等腰直角三角形，

∴BN=BF=x，

∴DN=BD－BN=2x-x=x，

∵AF=x，AD =AB =x，

∴DF==x，

∴cos∠HDO==．