Question

10．如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以lcm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．在移动过程中，边 AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为lcm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm．设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y （cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S₁，ACDG的面积为S₂，试说明S₁-S₂是常数．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S₁、S₂，然后作差即可．

解答 解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴$\frac{CD}{GD}$=$\frac{PG}{AG}$，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴$\frac{1}{3-x}$=$\frac{y}{4-x}$，即y=$\frac{4-x}{3-x}$，
∴y关于x的函数关系式为y=$\frac{4-x}{3-x}$，
当y=3时，$\frac{4-x}{3-x}$=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．
故x的值为2.5；

（2）∵S₁=$\frac{1}{2}$GP•GD=$\frac{1}{2}$•$\frac{4-x}{3-x}$•（3-x）=$\frac{4-x}{2}$（cm²），
S₂=$\frac{1}{2}$GD•CD=$\frac{1}{2}$（3-x）×1=$\frac{3-x}{2}$（cm²），
∴S₁-S₂=$\frac{4-x}{2}$-$\frac{3-x}{2}$=$\frac{1}{2}$（cm²），即为常数．

点评 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．