Question

10．已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）根据利润=（售价-进价）×销售件数即可求得W与x之间的函数关系式；
（2）利用配方法求得函数的最大值，从而可求得答案；
（3）根据每星期的销售利润不低于6000元列不等式求解即可．

解答 解：（1）w=（20-x）（300+20x）=-20x²+100x+6000，
∵300+20x≤380，
∴x≤4，且x为整数；
（2）w=-20x²+100x+6000=-20（x-$\frac{5}{2}$）²+6125，
∵-20（x-$\frac{5}{2}$）²≤0，且x≤4的整数，
∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，
即当定价为57或58元时有最大利润6120元； 
（3）根据题意得：
-20（x-$\frac{5}{2}$）²+6125≥6000，
解得：0≤x≤5．
又∵x≤4，
∴0≤x≤4
答：售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．

点评 此题考查二次函数的性质及其应用以及抛物线的基本性质，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题是解题关键．