Question

6．如图，某高铁工程需要确定隧道CD的长度，测量人员在离地面1000米高的A处的飞机上，测得C点的俯角为45°，然后飞机沿与水平线成30°角的方向飞行到离地面2000米高的B点，测得D点的俯角为60°，求隧道CD的长（结果精确到0.1米，$\sqrt{3}$≈1.732）．

Answer 1

分析 作BK⊥AE，垂足为K，作FE⊥CD，垂足为F，作CG⊥AE，垂足为G．利用CD=CF+FD=GE+FD=（AE-AG）+FD即可求解．

解答 解：作BK⊥AE，垂足为K，作FE⊥CD，垂足为F，作CG⊥AE，垂足为G．
在Rt△BKE中，∠1=90°-60°=30°，BK=2000-1000=1000米，
KE=1000×tan30°=1000×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1000\sqrt{3}}{3}$米；
在Rt△AKB中，AK=$\frac{1000}{tan30°}$=1000$\sqrt{3}$米；
∴AE=$\frac{1000\sqrt{3}}{3}$+100$\sqrt{3}$=$\frac{4000\sqrt{3}}{3}$米；
在Rt△AGC中，AG=CG=1000米，
Rt△EFD中，EF=1000米，∠2=60°，
FD=$\frac{1000}{tan60°}$$\frac{1000\sqrt{3}}{3}$米，
∴CD=CF+FD=GE+FD=（AE-AG）+FD=（$\frac{4000\sqrt{3}}{3}$-1000）+$\frac{1000\sqrt{3}}{3}$=（$\frac{5000\sqrt{3}}{3}$-1000）≈1886.7（米）．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，将原图转化为相关三角形，是解题的关键．