题目内容

在实数范围内，方程x²=-1无解，为使开方运算在负数范围内可以进行，我们规定i²=-1．定义一种新数：Z=a+bi（{a、b为实数}），并规定实数范围内的所有运算法则对于新数Z=a+bi?（{a、b为实数}）；仍然成立．例如：Z²=（a+bi）²=（a+bi）•（a+bi）=a²+2a•bi+（bi）²=a²-b²+2abi，若 $数学公式$ ，则 $数学公式$ ，依据上述规定，
（1）若 $数学公式$ ，试求Z³的值；
（2）若 $数学公式$ ，试求z²⁰⁰⁸的值．

解：（1）Z³=z²×z
=（- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ i）×（- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i）
= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ i）²= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×（-1）
=1；

（2）z=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i，z²=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ i，z³=1，z⁴=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i，
∵2008÷3=669…1，
∴z²⁰⁰⁸应和z的值相等，z²⁰⁰⁸=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i．
分析：（1）由于Z³=z²×z，把已求得的z²的值代入即可；
（2）由于z=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i，z²=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ i，z³=1，z⁴=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i，可得到3个为一轮，依次循环．那么2008÷3=669…1，那么z²⁰⁰⁸应和z的值相等，由此即可求解．
点评：此题主要考查了实数和代数式的运算及对知识迁移运用能力，计算分析，得到相应规律是解决本题的关键．