Question

在实数范围内，方程x²=-1无解，为使开方运算在负数范围内可以进行，我们规定i²=-1．定义一种新数：Z=a+bi（{a、b为实数}），并规定实数范围内的所有运算法则对于新数Z=a+bi?（{a、b为实数}）；仍然成立．例如：Z²=（a+bi）²=（a+bi）•（a+bi）=a²+2a•bi+（bi）²=a²-b²+2abi，若Z=-

1

2

+

3

2

i，则Z2=(-

1

2

+

3

2

i)2=(-

1

2

)2+2(-

1

2

)(

3

2

i)+(

3

2

i)2=-

1

2

-

3

2

i，依据上述规定，
（1）若Z=-

1

2

+

3

2

i，试求Z³的值；
（2）若Z=-

1

2

+

3

2

i，试求z²⁰⁰⁸的值．

Answer 1

分析：（1）由于Z³=z²×z，把已求得的z²的值代入即可；
（2）由于z=-

1

2

+

3

2

i，z²=-

1

2

-

3

2

i，z³=1，z⁴=-

1

2

+

3

2

i，可得到3个为一轮，依次循环．那么2008÷3=669…1，那么z²⁰⁰⁸应和z的值相等，由此即可求解．

解答：解：（1）Z³=z²×z
=（-

1

2

-

3

2

i）×（-

1

2

+

3

2

i）
=

1

4

-（

3

2

i）²
=

1

4

-

3

4

×（-1）
=1；

（2）z=-

1

2

+

3

2

i，z²=-

1

2

-

3

2

i，z³=1，z⁴=-

1

2

+

3

2

i，
∵2008÷3=669…1，
∴z²⁰⁰⁸应和z的值相等，z²⁰⁰⁸=-

1

2

+

3

2

i．

点评：此题主要考查了实数和代数式的运算及对知识迁移运用能力，计算分析，得到相应规律是解决本题的关键．