Question

20．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC与BD交于点O，设△BOC，△COD，△DOA及梯形ABCD的面积分别为S₁、S₂、S₃、S．
（1）已知$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，请用$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$或表示AD：BC；
（2）已知$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$，请用$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$，表示AD：BC；
（3）已知$\frac{{S}_{2}}{S}$，请用$\frac{{S}_{3}}{S}$表示AD：BC．

Answer 1

分析 （1）先由AD∥BC判断△AOD∽△COB，则利用相似三角形的性质得$\frac{AD}{BC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，再根据三角形面积公式得到$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OB}$，所以$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}}$；
（2）与方法一样得到$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{AD}{BC}$，再利用三角形面积公式得到S_△AOB=S₂，则$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{1}+{2S}_{2}+{S}_{3}}$，设$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=x，$\frac{AD}{BC}$=y，利用分式的基本性质得到x=$\frac{1}{1+y}$，于是y=$\frac{1}{x}$-1，所以$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}}$-1；
（3）与（2）的方法一样求解．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
∵$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}}$；
（2）∵$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{AD}{BC}$，

∵AD∥BC，
∴△ABC的面积=△DBC的面积，
∴S_△AOB=S₂，
∴$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{1}+{2S}_{2}+{S}_{3}}$=$\frac{1+\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}+2+\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}}$，
设$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=x，$\frac{AD}{BC}$=y，
∴x=$\frac{1+\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+2+y}$=$\frac{y+1}{1+2y+{y}^{2}}$=$\frac{1}{1+y}$，
∴y=$\frac{1}{x}$-1，
即$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}}$-1；
（3）$\frac{{S}_{3}}{S}$=$\frac{{S}_{3}}{{S}_{1}+2{S}_{2}+{S}_{3}}$=$\frac{\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}}{\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}+2+\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}}$，
设$\frac{{S}_{3}}{S}$=x，$\frac{AD}{BC}$=y，
∴x=$\frac{y}{\frac{1}{y}+2+y}$=（$\frac{y}{1+y}$）²，
∴$\frac{y}{1+y}$=$\sqrt{x}$，
∴y=$\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$，
即$\frac{AD}{BC}$=$\frac{\sqrt{\frac{{S}_{3}}{S}}}{1-\sqrt{\frac{{S}_{3}}{S}}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：利用平行于三角形一边的直线与其它两边相交所得的三角形与原三角形相似是证明三角形相似常见的方法．解决本题的关键是利用代数法简化和利用分式的基本性质变形．