Question

10．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，E为BC边上一动点，连接ED并延长交BA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AB于G，交CB的延长线于H，则以下结论：①DE=DG；②BE=DG；③DF=DH；④BG=CE．其中正确的是（　　）

• A． ②③
• B． ③④
• C． ①③④
• D． ①③

Answer 1

分析 欲证线段相等，就证它们所在的三角形全等．证明△DCE≌△DBG，△DBH≌△DAF．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，且D点是斜边AB的中点，
∴CD=AD=DB，BD⊥AC，
∴∠CDE=∠BDG，∠DCE=∠DBG=45°，
∴在△DCE与△DBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠BDG}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠DBG=45°}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DBG（ASA），
∴DE=DG，CE=BG．
故①④正确；
当DE≠BE时，BE=DG不成立，故②错误；
同理可证△DBH≌△DAF，∴DF=DH．
故③正确；
故选：C．

点评 本题考查了三角形综合题，重点对三角形全等的判定定理和等腰直角三角形的理解和掌握，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．