Question

如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O点作直线MN∥BC，MN分别交∠BCA的平分线于点E、∠BCA外角平分线于点F．

(1)求证：EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；

(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且＝．求∠B．

Answer 1

答案：
解析：

证明：由(1)知OE＝OF，当OA＝OC时，AECF是平行四边形，∵CE、CF分别平分∠ACB及其外角，∴∠ECF＝∠BCD＝，∴四边形AECF是矩形． 　　(3)当AECF是正方形时，有AC⊥MN．又MN∥BC，∴AC⊥BC， 　　∴△ABC是Rt△则∠ACB＝． 　　由AECF是正方形得AE＝EC＝AC． 　　又∵＝，∴＝，∴∠B＝． 　　解析：(1)∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE．∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE．∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC．同理OF＝OC，∴EO＝FO． 　　(2)当O运动到AC的中点处时，AECF是矩形．

提示：

思维(1)由一对邻补角的平分线和MN∥BC不难证明OE＝OC＝OF．(2)由CE⊥CF知∠ECF是，因此要使四边形AECF是矩形．只要AECF是平行四边形．即AO＝OC，由此不难发现O在AC中点．(3)当AECF是正方形时，则EF⊥AC，因此AC⊥BC，∴△ABC是Rt△，∴AE＝EC＝AC，又＝，∴＝，∴∠B＝．