Question

19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的判定与性质得出BC=$\sqrt{2}$AC，DE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值即可．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，BC=$\sqrt{2}$AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC．
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE=∠C=45°，
∴DE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AC．
∴tan∠DBC=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}AC}{\sqrt{2}AC-\frac{\sqrt{2}}{4}AC}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．