Question

9．如图，△ABC与△DBC均为等边三角形，BC=2，将△DBC绕点D顺时针旋转α角，得△DEF，BE交AF于O．
（1）用α表示∠FEO；
（2）求证：AO=OF；
（3）当旋转到使∠DAE最大时，直接写出△AEF的面积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）连结DB，如图2，根据旋转的旋转得∠BDE=α，DB=DE，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和和可计算出∠DEB=∠DBE=90°-$\frac{1}{2}$α，而∠DEF=60°，于是利用平角定义可得到∠FEO=30°+$\frac{1}{2}$α；
（2）作FM∥AB交BO的延长线于M，如图2，先计算出∠ABO=∠ABD-∠DBE=30°+$\frac{1}{2}$α，则∠ABO=∠FEO，再根据平行线的性质得∠ABO=∠M，则∠M=∠FEM，所以FE=FM，然后证明△ABO≌△FMO得到AO=FO；
（3）点E在以点D为圆心，DB为半径的圆上，所以当AE于⊙D相切时，∠DAE，连结AD，如图3，由切线性质得DE⊥AE，利用等边三角形的性质可计算出AD=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，DE=BC=2，接着利用勾股定理计算出AE=2$\sqrt{2}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）解：连结DB，如图2，
∵△DBC绕点D顺时针旋转α角，得△DEF，
∴∠BDE=α，DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DEB=∠DBE=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠FEO=180°-（90°-$\frac{1}{2}α$）-60°=30°+$\frac{1}{2}$α；
（2）证明：作FM∥AB交BO的延长线于M，如图2，
∵∠ABO=∠ABD-∠DBE=120°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=30°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠ABO=∠FEO，
∵AB∥MF，
∴∠ABO=∠M，
∴∠M=∠FEM，
∴FE=FM，
∵FE=BC=AB，
∴FM=AB，
在△ABO和△FMO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠FOM}\\{∠ABO=∠M}\\{AB=FM}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△FMO，
∴AO=FO；
（3）点E在以点D为圆心，DB为半径的圆上，
所以当AE于⊙D相切时，∠DAE，连结AD，如图3，则DE⊥AE，
AD=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，DE=BC=2，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
所以此时△AEF的面积=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．解决本题的关键是构建全等三角形证明OA=FO．