Question

18．如图，AB∥DC，∠A=90°，AE=DC．∠1=∠2
（1）△BEC是等腰直角三角形吗？并说明理由；
（2）若AB=6，BC=10$\sqrt{2}$，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明Rt△ABE≌Rt△DEC可得∠AEB=∠ECD，BE=CE，再根据∠ECD+∠DEC=90°可得∠AEB+∠DEC=90°，进而可得∠BEC=90°，△BEC是等腰直角三角形；
（2）由△BEC是等腰直角三角形，BC=10$\sqrt{2}$，可求出BE=CE=10，又AB=6，可根据勾股定理得到AE=8，由Rt△ADE≌Rt△BEC，可知AB=DE=6，AE=CD=8，根据梯形面积公式计算即可．

解答 证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=90°，
∴∠D=90°，
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∵∠1=∠2，
∴BE=EC，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DEC（HL），
∴∠AEB=∠ECD，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=180°-90°=90°
∴△BEC是等腰直角三角形；
（2）∵△BEC是等腰直角三角形，BC=10$\sqrt{2}$，
∴BE=CE=10，
又∵AB=6，
∴在Rt△BAE中
AE=$\sqrt{B{E}^{2-}A{B}^{2}}$=8，
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴AB=DE=6，AE=CD=8，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×（AB+CD）×（AE+ED）=$\frac{1}{2}$×14×14=128．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS、HL．