Question

6．如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连结CI，若AB=1，且△ABC与△ICE相似，那么AC=$\frac{1}{2}$或1或2．

Answer 1

分析 先确定点I为△ABC的内心，则CI平分∠ACB，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，易得∠ECI=90°，利用三角形外角性质得∠BIC=∠ECI+∠E=90°+∠E，所以∠E=$\frac{1}{2}$∠BAC，然后分类讨论：当△ABC∽△IEC时，写出相等的对应角得到∠BAC=∠1，∠ABC=∠E，∠ACB=∠ICE=90°，于是在Rt△ABC中∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC，则可计算出∠ABC=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$；当△ABC∽△ICE或△ABC∽△CIE时或△ABC∽△CEI时，利用同样的方法可判断△ABC为特殊的直角三角形，再利用特殊直角三角形的性质可求出AC的长．

解答 解：∵AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC，
∴点I为△ABC的内心，
∴CI平分∠ACB，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECI=90°，
∴∠BIC=∠ECI+∠E=90°+∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠BAC，
当△ABC∽△IEC时，∠BAC=∠1，∠ABC=∠E，∠ACB=∠ICE=90°，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$；
当△ABC∽△ICE时，∠BAC=∠1，∠ABC=∠ICE=90°，∠ACB=∠E，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ACC=30°，
∴AC=2AB=2；
当△ABC∽△CIE时，∠BAC=∠ICE=90°，∠ABC=∠1，∠ACB=∠E，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°
∴AC=AB=1；
当△ABC∽△CEI时，∠BAC=∠ECI=90°，∠ABC=∠E，∠ACB=∠1，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∴AC=AB=1；
综上所述，AC的长为$\frac{1}{2}$或1或2．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了三角形的内心性质和分类讨论思想的运用．