题目内容

如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S_△MNC，△ABC的面积为S_△ABC．
（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S_△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S_△MNC与S_△ABC之间的关系；
②当S_△MNC= $数学公式$ S_△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．

解：（1）MN∥DE，∴ $\text{[math]}$ ，
又∵AD=AB，AE=AC，∴ $\text{[math]}$ ，
又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2 $\text{[math]}$ ，
∴△ABM∽△ACN，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴S_△MNC= $\text{[math]}$ CM•CN= $\text{[math]}$ （4-x）• $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ （4x-x²）（0＜x＜4）．

（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴ $\text{[math]}$ ，∴AM=MB．
∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．
又∵∠ACB=90°-30°=60°
∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM= $\text{[math]}$ BC=2，即x=2．
S_△MNC= $\text{[math]}$ （4x-x²）= $\text{[math]}$ ，∵S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△MNC= $\text{[math]}$ S_△ABC．
②当S_△MNC= $\text{[math]}$ S_△ABC时
∴S_△MNC= $\text{[math]}$ （4x-x²）= $\text{[math]}$ 解得x=1或x=3．
（i）当x=1时，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，∴MN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离．
（ii）当x=3时，
同理可求出，NC= $\text{[math]}$ ，MC=1，MN=2，AN=1
∴NC＞AN
∴直线AD与⊙相交．
分析：（1）利用平行线的性质和等量代换，易得△ABM∽△ACN，再由等量代换得到∠MCN=90°即可；
（2）由于△MNC是直角三角形，则有S_△MNC= $\text{[math]}$ MN•CN，而MC=4-x，故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN，就可求得S_△MNC的函数关系式．
（3）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，确定出CN的值后，用2中的S_△MNC的函数关系式，确定S_△MNC与S_△ABC之间的关系；②当S_△MNC= $\text{[math]}$ S_△ABC时，求得x的值，讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．
点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质求解，运用了分类讨论的思想．