题目内容

如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MN精英家教网C，△ABC的面积为S△ABC．
（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；
②当S△MNC=
14
S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．
分析：（1）利用平行线的性质和等量代换，易得△ABM∽△ACN，再由等量代换得到∠MCN=90°即可；
（2）由于△MNC是直角三角形，则有S△MNC=
1
2
MN•CN，而MC=4-x，故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN，就可求得S△MNC的函数关系式．
（3）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，确定出CN的值后，用2中的S△MNC的函数关系式，确定S△MNC与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=
1
4
S△ABC时，求得x的值，讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．
解答：解：（1）MN∥DE，∴
AM
AD
=
AN
AE
，
又∵AD=AB，AE=AC，∴
AM
AB
=
AN
AC
，
又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2
3
，
∴△ABM∽△ACN，∴
BM
CN
=
AB
AC
，
∴CN=
MB．AC
AB
=
2x
2
3
=
3
x
3
，
∴S△MNC=
1
2
CM•CN=
1
2
（4-x）•
3
3
x=
3
6
（4x-x2）（0＜x＜4）．

（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴
AM
AN
=
MB
NC
，∴AM=MB．
∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．
又∵∠ACB=90°-30°=60°
∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=
1
2
BC=2，即x=2．
S△MNC=
3
6
（4x-x2）=
2
3
3
，∵S△ABC=
1
2
AB•AC=2
3
，
∴S△MNC=
1
3
S△ABC．
②当S△MNC=
1
4
S△ABC时
∴S△MNC=
3
6
（4x-x2）=
1
4
•2
3
解得x=1或x=3．
（i）当x=1时，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，∴MN=
NC2+MC2
=
2
21
3

∵
1
3
21
＞
1
3
3
，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离．
（ii）当x=3时，
同理可求出，NC=
3
，MC=1，MN=2，AN=1
∴NC＞AN
∴直线AD与⊙相交．
点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质求解，运用了分类讨论的思想．
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