Question

20．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P是线段BC上一点，过点P作PN∥y轴交x轴于点N，交抛物线于点M．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且△QMC和△PMC的面积相等，求点Q的坐标；
（3）如果PM=$\frac{3}{2}$PN，求tan∠CMN的值．

Answer 1

分析 （1）根据点B、C的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）根据点B、C的坐标利用待定系数法，求出直线BC的表达式，由点P的横坐标，即可求出点P、M的坐标，进而可求出△PMC的面积，根据△QMC和△PMC的面积相等，可求出点Q的纵坐标为1，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合点Q在第一象限，即可求出点Q的坐标，此题得解；
（3）过点C作CH⊥MN，垂足为H，设M（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），则P（m，-m+3），由PM=$\frac{3}{2}$PN，可求出m的值，从而得出点M、P的坐标，进而可求出MH、CH的值，再根据正切的定义，即可求出tan∠CMN的值．

解答 解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3．

（2）依照题意画出图形，如图1所示．
设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），
将点C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的表达式为y=-x+3，
∴P（2，1），M（2，3），
∴S_△PCM=$\frac{1}{2}$CM•PM=2．
设△QCM的边CM上的高为h，则S_△QCM=$\frac{1}{2}$×2×h=2，
∴h=2，
∴Q点的纵坐标为1，
∴-x²+2x+3=1，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$（舍去），
∴点Q的坐标为（1+$\sqrt{3}$，1）．

（3）过点C作CH⊥MN，垂足为H，如图2所示．
设M（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），则P（m，-m+3）．
∵PM=$\frac{3}{2}$PN，
∴PN=$\frac{2}{5}$MN，
∴-m+3=$\frac{2}{5}$（-m²+2m+3），
解得：m=$\frac{3}{2}$或m=3（舍去），
∴点P 的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴MH=$\frac{15}{4}$-3=$\frac{3}{4}$，CH=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠CMN=$\frac{CH}{MH}$=2．

点评 本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据△QMC和△PMC的面积相等，求出点Q的纵坐标；（3）根据PM=$\frac{3}{2}$PN，求出点P、M的坐标．