Question

10．如图，点A（0，3），B（6，0），过点B作AB的垂线l．若直线l上存在点C，满足BC=2$\sqrt{5}$，则点C的坐标为（8，4）或（4，-4）．

Answer 1

分析 先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，再根据互相垂直的两直线斜率之积为-1可设直线l的解析式为y=2x+b，将B（6，0）代入，求出直线l的解析式为y=2x-12．设点C的坐标为（x，2x-12）．根据BC=2$\sqrt{5}$，列出方程（x-6）²+（2x-12）²=20，解方程即可．

解答 解：∵点A（0，3），B（6，0），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∵l⊥AB，
∴可设直线l的解析式为y=2x+b，
将B（6，0）代入，得12+b=0，解得b=-12，
即直线l的解析式为y=2x-12．
设点C的坐标为（x，2x-12）．
∵BC=2$\sqrt{5}$，
∴（x-6）²+（2x-12）²=20，
整理，得x²-12x+32=0，
解得x=8或4，
∴点C的坐标为（8，4）或（4，-4）．
故答案为（8，4）或（4，-4）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，互相垂直的两直线斜率之积为-1，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，求出直线l的解析式是解题的关键．