Question

12．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，OA交⊙O于点E．
（1）证明：直线AB与⊙O相切；
（2）若AE=a，AB=b，求⊙O的半径；（结果用a，b表示）
（3）过点C作弦CD⊥OA于点H，试探究⊙O的直径与OH、OB之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用段垂直平分线的性质得出OC⊥AB，进而得出答案即可；
（2）利用勾股定理得出OC²+AC²=OA²，进而得出⊙O的半径；
（3）首先得出△HOC∽△COA，进而得出OC²=OH×OA，即可得出⊙O的直径与OH、OB之间的数量关系．

解答 （1）证明：如图所示：连接CO，
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∵OC为⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；

（2）解：在直角三角形OAC中用勾股定理就可以了．设半径为r，则OC=r，OA=a+r，
AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b，
在Rt△AOC中，
OC²+AC²=OA²，
则r²+$\frac{1}{4}$b²=（a+r）²，
解得：r=$\frac{{b}^{2}}{8a}$-$\frac{a}{2}$；

（3）d²=4OH×OB，
理由：∵OA⊥CD，OC⊥AC，
∴∠OCA=∠OHC，
∵∠HOC=∠COA，
∴△HOC∽△COA，
∴$\frac{OH}{OC}$=$\frac{OC}{OA}$，
即OC²=OH×OA，
∵OC垂直平分AB，
∴OA=OB，
设直径为d，则OC=$\frac{d}{2}$，
∴（$\frac{d}{2}$）²=OH×OB，
即d²=4OH×OB．

点评 此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质，得出△HOC∽△COA是解题关键．