Question

13．已知△ABC的两个外角的角平分线与∠ABC的角平分线相交于点O，OD⊥BD，试判断∠BOA与∠COD之间的数量关系．

Answer 1

分析 分别根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出∠BAC与∠BOC的度数，根据外角平分线的性质求出∠AOC与∠ABC的关系，由此即可得出结论．

解答 解：相等关系，理由如下：
∵OA、OC是∠BAC和∠ACB外角的平分线，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），∠ACO=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC），
∵∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC，
∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）
=180°-$\frac{1}{2}$（2∠ABC+180°-∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABA．
即∠AOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC的平分线交∠ACB的外角平分线于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，
∵∠OCD是△BCO的外角，
∴∠BOC=∠OCD-∠OBC，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∠BAC=∠ACD-∠ABC=2∠OCD-2∠OBC=2（∠OCD-∠OBC），
∴∠BAC=2∠BOC，
∴∠BOA=∠AOC-∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵OD⊥BD，
∴∠COD=90°-∠BOC-∠OBC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BOA=∠COD．

点评 本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理：
（1）三角形外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．