Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1．过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先由一次函数y=3x+2的图象过点B，且点B的横坐标为1，将x=1代入y=3x+2，求出y的值，得到点B的坐标，再将B点坐标代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，2），再将y=2代入y=$\frac{5}{x}$，求出x的值，那么AC=$\frac{5}{2}$．过B作BD⊥AC于D，则BD=y_B-y_C=5-2=3，然后根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD，将数值代入计算即可求解．

解答 解：（1）∵一次函数y=3x+2的图象过点B，且点B的横坐标为1，
∴y=3×1+2=5，
∴点B的坐标为（1，5）．
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{5}{x}$；

（2）∵一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=2，
∴点A的坐标为（0，2），
∵AC⊥y轴，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2，
∵点C在反比例函数y=$\frac{5}{x}$的图象上，
∴当y=2时，2=$\frac{5}{x}$，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴AC=$\frac{5}{2}$．
过B作BD⊥AC于D，则BD=y_B-y_C=5-2=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．