Question

2．如图，在等边△ABC中，M为BC边上任意一点（不含B、C两点），P为BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．已知∠AMN=60°，求证：AM=NM．

Answer 1

分析 在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，求出∠2=∠1，∠5=∠MCN，根据ASA推出△AEM≌△MCN即可．

解答 证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM，
∴△BEM为等边三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AE=MC}\\{∠5=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△MCN （ASA），
∴AM=NM．

点评 本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出两三角形全等，题目比较好，难度适中．