Question

6．如图，把一张长为8cm，宽为4cm 的长方形纸片折叠，折叠后使相对的两个点A、C重合，点D落在D′，折痕为EF．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）求重合部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEF=∠CFE，由折叠的性质得出∠AFE=∠CFE，AF=CF，求出∠AEF=∠AFE，得出AE=AF即可；
（2）设AE=AF=CF=x，则BF=BC-CF=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出AE=5cm，求出△AEF的面积即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠的性质得：∠AFE=∠CFE，AF=CF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
即△AEF是等腰三角形；

（2）解：∵AE=AF，AF=CF，
∴AE=AF=CF，
设AE=AF=CF=x，则BF=BC-CF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AE=5cm，
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$×5×4=10（cm²），
即重合部分的面积为10cm²．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．