Question

若抛物线y=x²+2mx+2m-

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（m＞0）与x轴的两个交点在（1，0）两边，则关于x的方程x²+（2m-1）x+

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=0的根的情况是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式

专题：

分析：因为抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，由此求出m取值范围，进而由方程x²+（2m-1）x+

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8

=0的“△”确定根的情况．

解答：解：∵抛物线y=x²+2mx+2m-

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4

与x轴的两个交点在（1，0）两旁，
∴关于x的方程y=x²+2mx+2m-

5

4

，有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，
即：（2m）²-4（2m-

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4

）=4（m-1）²+1＞0，
∴m为任意实数①
设抛物线y=x²+2mx+2m-

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4

与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是关于x的方程x²+2mx+2m-

5

4

=0的两个不相等的实数根，
由根与系数关系得：α+β=-2m，αβ=2m-

5

4

，
∵抛物线y=x²+2mx+2m-

5

4

与x轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁
∴α＜1，β＞1
∴（α-1）（β-1）＜0
∴αβ-（α+β）+1＜0
∴（2m-

5

4

）+2m+1＜0
解得：m＜

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16

②，
∵m＞0，
∴0＜m＜

1

16

，
由①、②得m的取值范围是0＜m＜

1

16

；
∵方程x²+（2m-1）x+

1

8

=0的根的判别式为：
（2m-1）²-4×

1

8

，
=（2m-1）²-

1

2

，
∵0＜m＜

1

16

，
∴（2m-1）²-

1

2

＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：方程有两个不相等的实数根．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax²+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根即△＜0．