Question

【题目】△ABC中，D是BC的中点，点G在AD上（点G不与A重合），过点G的直线交AB于E，交射线AC于点F，设AE=xAB，AF=yAC（x，y≠0）．

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，点G与D重合，∠BDE=30，求证：△AEF∽△DEA；

（2）如图2，若点G与D重合，求证：x+y=2xy；

（3）如图3，若AG=nGD，x=，y=，直接写出n的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）n=3

【解析】

（1）先根据等边三角形的性质和中线的性质得到∠BAD=30°，再求得∠F=∠BAD=30°即可证明；

（2）先证明△DEB≌△DHC，得到CH=BE，再证明△FCH∽△FAE，最后运用相似三角形的性质即可证明；

（3）先确定点E是AB的中点，然后根据DE是△ABC的中位线，得出DE=AC，DE//AC可得△DGE∽△AGP，最后运用相似三角形的性质求解即可．

解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC，

∵AD是△ABC的中线，

∴AD平分∠BAC,即∠BAD=∠BAC=30°，

∵∠BDE=30°，

∴∠BED=90°，即EF⊥AB

∴∠F=90°-∠EAF=30°

∴∠F=∠BAD

∵∠AED=∠FEA=90°，

∴△AEF∽△DEA；

（2）如图2，过C作CH//AB交EF于H，

∴∠B=∠DCH，∠BED=∠CHD，

∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD，

∴△DEB≌△DHC（AAS），

∴CH=BE，

∵CH//AB，

∴△FCH∽△FAE，CF_CH，

∴

∴

∵，

∴，

∴x+y=2xy；

（3）如图3，连接DE

∵y=

∴AF=AC,即AC =AF

同理：AE=AB

∴点E是AB的中点。

∵AD是△ABC的中线，即点D是BC的中点，

∴

∵DE//AC.

∴△DGE∽△AGP

∴，即AG=3DG

∴n=3．