Question

10．已知二次函数的图象顶点是（1，2），且过点（2，3）
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的值增大而增大？
（3）若点（-1，m），（4，n）都在此图象上，试比较m、n的大小并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线顶点坐标，则设顶点式=a（x-1）²+2，然后把（2，3）代入求出a即可；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，把（-1，m）、（4，n）分别代入（1）中的解析式计算出m和n的值，然后比较它们的大小．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+2，
把（2，3）代入得a（2-1）²+2=3，解得-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-1）²+2；
（2）当x＜1时，y随x的值增大而增大；
（3）把（-1，m）、（4，n）分别代入y=-（x-1）²+2得
m=-（-1-1）²+2=-2，n=-（4-1）²+2=-7，
所以m＞n．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．