Question

已知菱形的边长为a，一边与两条对角线的夹角的差为30°，求菱形的面积及各角的度数．

Answer 1

解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵∠DAC=30°，
∴OD=a，OA=a，
∴AC=a，BD=a，
∴菱形的面积为a²，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=2∠DAC=60°，
∴∠DAB=∠DCB=60°，∠ADC=∠ABC=120°．
分析：如图，由菱形ABCD，可得AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，又由一边与两条对角线的夹角的差为30°，即∠DAC=30°，可得OD=a，OA=a，即可得AC=a，BD=a，所以菱形的面积为a²，根据菱形的对角线平分对角，可得∠DAB=60°，所以可得∠DAB=∠DCB=60°，∠ADC=∠ABC=120°．
点评：此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线平分对角．解题的关键是注意数形结合思想的应用．